Question

已知m∈R，直线l：mx-(m^2+1)y=4m和圆C：x^2+y^2-8x+4y+16=0.求直线l斜率的取值范围

直线l能否将圆C分割成弧长的比值为1/2的两段圆弧？为什么

Answer 1

1.直线斜率为m/(m平方+1)
因为M属于R
上下同除m
则斜率化为1/(m+1/m)
用基本不等式可以得到
当m>0时，m+1/m大于等于2（当且仅当m=1时取等号）
则斜率小于等于1/2
当m<0时，m+1/m小于等于-2（当且仅当m=-1时取等号）
则斜率大于等于-1/2
当m=0时，斜率为零
综上-1/2小于等于斜率小于等于1/2

2.圆可以化成（x-4）平方+（y-2）平方=4
圆心为（4，2）半径为2
若直线L能将圆C分割弧长的比值为1/2的两段弧
则所对的圆心角为120°和240°
过圆心作该直线的垂线
用公式算出圆心到直线的距离为半径的一半
得到的方程式为3m四次方+5m平方+3=0
无解
所以不能

Answer 2

若直线L将圆C分割成弧长的比值为1/2的两段圆弧，则1对的圆心角是120度，所以圆心到直线的距离应该为圆半径的1/2.
x^2+y^2-8x+4y+16=0

（x-4)^2+(y+2)^2=6^2
圆心(4,-2)到直线l的距离为
{[4m-(m^2+1)(-2)-4m]/根号下[m^2+(m^2+1)^2]}=3
m不存在。
所以不行。

Answer 3

直线l能否将圆C分割成弧长的比值为1/2的两段圆弧，等价于问：
圆心到直线l的距离可以是1，自己画下图就明白了。很好解，y=m(x+4)/(m^2+1)
令d=1解方程，看m是否有实解。