Question

用数列极限的定义证明lim0.999…9（n个）=1(n趋近于无穷)

Answer 1

证明：令An=1-0.999…9（n个），则An=10^（-n）。任意给e>0，总存在N=[-lge]+1(10为底，e的对数)。当n>N时，|An-0|<e，所以linAn=0，所以lin（1-0.999…9（n个））=0，所以lim0.999…9（n个）=1（n趋近于无穷）。所以1=0.99999…9（无穷多个）=0.9的循环。

Answer 2

等比数列的求和公式是[a1(1-q^n)]/(1-q)，
那么当q<1且n->无穷大的时候，这个式子的极限就是a1/(1-q)。
由于循环小数0.aaaaaaaaa……=a/10+a/100+a/1000+a/10000+……，
它的每一个加数刚好构成一个无穷的等比数列，而且q=1/10，
那么就可以用a1/(1-q)计算0.99999999……，
此时a1=0.9，q=1/10，很容易就可以得到0.9999999999……=0.9/(1-1/10)=1

Answer 3

记数列的通项为xn，则x1=0.9＝1-1/10，xn=0.999...9＝1-1/10^n
证明lim(n→∞)
xn＝1
证明：|
xn-1|=1/10^n
对于任意的正数ε(ε＜1)，要使得|xn-1|＜ε，即1/10^n＜ε，只要n＞lg(1/ε)，所以取正整数n=[lg(1/ε)]，当n＞n时，恒有|xn-1|＜ε。所以lim(n→∞)
xn＝1

Answer 4

数列极限的定义我不会，不过我的方法更简单！因为种种原因1/3=0。33333……，而（1/3)*3=0.9999……=1

Answer 5

0.999……9=0.9+0.09+0.009+0.0……09=0.9(1-0.9^n)/(1-0.9)-1=0.9^n~n趋于无穷大，极限就是1了~