Question

定积分∫(|2x-4|+|x+1|)dx上限3 下限-2

Answer 1

当x>2时，|2x-4|=2x-4
当x<=2时，|2x-4|=4-2x
当x>-1时，|x+1|=x+1，当x<=-1时，|x+1|=-x-1
所以把积分区间划分为[-2,-1]，[-1,2]，[2,3]三部分
∫(-2,3)(|2x-4|+|x+1|)dx
=∫(-2,-1)(|2x-4|+|x+1|)dx+∫(-1,2)(|2x-4|+|x+1|)dx+∫(2,3)(|2x-4|+|x+1|)dx
=∫(-2,-1)(2x-4+x+1)dx+∫(-1,2)(4-2x+x+1)dx+∫(2,3)(4-2x-x-1)dx
=2
也可把原积分拆成两项：
∫(-2,3)(|2x-4|+|x+1|)dx
=∫(-2,3)(|2x-4|dx+∫(-2,3)|x+1|)dx
=∫(-2,2)(4-2x)dx+∫(2,3)(2x-4)dx+∫(-2,-1)(-x-1))dx+∫(-1,3)(x+1))dx