Question

已知f(x)是周期为4的奇函数,证明其对称性

Answer 1

已知f(x)是周期为4的奇函数,证明其对称性
首先考察一个结论：
若函数y
=
f
(x)图像既关于点A
(a
,c)
成中心对称，又关于直线x
=b成轴对称（a≠b），则y
=
f
(x)是周期函数，且4|
a－b|是其一个周期。
证明：∵函数y
=
f
(x)图像既关于点A
(a
,c)
成中心对称，
∴f
(x)
+
f
(2a-x)
=2c
令x=2b-x
∴f
(2b-x)
+
f
[2a-(2b-x)
]
=2c
(1)
又∵函数y
=
f
(x)图像关于直线x
=b成对称
∴
f
(2b-x)
=
f
(x)代入（1）
得：f
(x)
=
2c-f
[2(a-b)+x]
（2）
令x=2(a-b)+x
∴f
[2(a-b)+x]
=
2c-f
[4(a-b)+x]
代入（2）
得：f
(x)
=
f
[4(a-b)+x]
∴
f
(x)是周期函数，且4|
a-b|是其一个周期
∵f(x)是周期为4的奇函数
即函数f(x)关于原点中心对称
即对称点(a,c)=(0,0)
又f(x)最小正周期为4的周期函数
∴4|
a-b|=4==>|a-b|=1
∵a=c=0,
∴b=±1
∵f(x)定义域为R
∴函数f(x)关于点（4k,0）(k∈Z)中心对称
还关于直线x=-1+4k
(k∈Z)，直线x=1+4k
(k∈Z)成轴对称
正弦函数就是一个典型的实例

Answer 2

解:函数f(x)是定义域为r的奇函数则f(x)=-f(-x)
它的图像关于直线x＝1对称,则f(x)=f(2-x)
所以f(-x)=f(2+x)=-f(x)
所以f(x)=-f(2+x)
所以f(x+2)=-f(2+x+2)=-f(x+4)=-f(x)
所以f(x)=f(x+4)
所以f(x)是以4周期的周期函数
========
偶函数的话就是
f(x)=f(2-x)
所以f(-x)=f(2+x)=f(x)
所以f(x)=f(2+x)
f(x)是以2周期的周期函数

Answer 3

f(-x)=-f(x)
f(x+4k)=f(x)=-f(-x)
所以
其对称点为(2k，0)，其中，k为整数
注：若定义在R上的函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则
f(x)的图像关于点(
(a+b)/2，0
)对称。