Question

证明下列数列极限存在，并求极限

Answer 1

利用极限存在准则，单调有界数列必有极限。先证有界
设xn+1=根号2+xn,x1=根号2n=1,x1=根号2<2,xn+1=根号2+xn<根号2+2=2，故xn<2，数列有界。xn+1-xn=根号2+xn

-xn=1(xn-2)(xn+1)/(根号2+xn+xn)>0,有界。数列有极限，设极限为a,对xn+1=根号2+xn两边平方，再两边同时取极限，得极限
xn+1^2
=极限(2+xn),a^2=2+a,a1=2,a2=-1(舍去），极限为2

Answer 2

显然
当x>3
x^2-x-6>0
等价于
xN>(6+xN)^(1/2)>x(N+1)
即当xN>3时
该数列单调递减
又可知3为该数列的下界（因为xN>3,xN+1>3所以x>3）
故，
依据单调有界必有极限，得该数列有极限
最后，在等式两端令n=无穷
可知极限为3