Question

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC延长线交

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC延长线交于点F.
(1).已证 BD=BF
(2).若BC=6,AD=4,求⊙O面积
第二问不要用相似比的。用圆的知识解决。
不用相似比的

Answer 1

1、因为AC是圆的切线，所以OE垂直AC，因为∠ACB=90°，所以OE平行BC，得∠OEB=∠CBE
因为OE=OB，得∠OEB=∠OBE，所以∠OBE=∠CBE，即BE平行∠ABC
因为BD是圆的直径，所以BE垂直DE，所以可得BE 垂直平分DF，得BD=BF
2、设圆的半径为R，则AIO=4+R，AB=4+2R
因为OE平行BC，所以OE：BC=AO：AB，即R：6=（4+R）：（4+2R），解得R=4
⊙O面积=∏*R平方=16∏

Answer 2

（1）作辅助线，连接OE，根据切线的性质知OE⊥AC，已知∠ACB=90°，可知OE∥BC，得∠OED=∠F，再根据OD=OE，可知∠ODE=∠OED，从而可得∠ODE=∠F，BD=BF；
（2）根据△AOE∽△ABC，可将⊙O的半径求出，代入圆的面积公式S⊙O=πr2，计算即可．解答：（1）证明：如图，连接OE
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F，
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF；

（2）解：设⊙O半径为r，
由OE∥BC得△AOE∽△ABC，
∴AOAB=
OEBC，
即r+42r+4=
r6，
∴r2-r-12=0，
解之得r1=4，r2=-3（舍），
∴S⊙O=πr2=16π．点评：本题考查了圆的切线性质及相似三角形的判定定理，有一定的综合性．答题：

Answer 3

1、因为AC是圆的切线，所以OE垂直AC，因为∠ACB=90°，所以OE平行BC，得∠OEB=∠CBE
因为OE=OB，得∠OEB=∠OBE，所以∠OBE=∠CBE，即BE平行∠ABC
因为BD是圆的直径，所以BE垂直DE，所以可得BE 垂直平分DF，得BD=BF
2、设圆的半径为R，则AIO=4+R，AB=4+2R
因为OE平行BC，所以OE：BC=AO：AB，即R：6=（4+R）：（4+2R），解得R=4

Answer 4

1、因为AC是圆的切线，所以OE垂直AC，因为∠ACB=90°，所以OE平行BC，得∠OEB=∠CBE
因为OE=OB，得∠OEB=∠OBE，所以∠OBE=∠CBE，即BE平行∠ABC
因为BD是圆的直径，所以BE垂直DE，所以可得BE 垂直平分DF，得BD=BF
2、设圆的半径为R，则AIO=4+R，AB=4+2R
因为OE平行BC，所以OE：BC=AO：AB，即R：6=（4+R）：（4+2R），解得R=4
S⊙O＝πr²＝16π

Answer 5

∵CE平分∠ACB
∴∠ACE=∠BCE
∵MN‖BC
∴∠BCE=∠OEC
∴∠OEC=∠OCE
∴OE=OC
同理：OF=OC
∴OE=OF
（2）当O为AC中点是四边形AECF为矩形
证明：∵OA=OC，OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
∵OE=OC=OF
∴∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形