Question

已知函数f(x)=(log2x-2)(log4x-1/2)(2<x<4)

Answer 1

（1）log4(x)=(1/2)log2(x)
所以：y=[log2(x)-2]*[(1/2)log2(x)-1/2]
令t=log2(x)，因为x∈[2,4]，所以可得t∈[1,2]；
y=(t-2)(t-1)/2=t²/2-3t/2+1
开口向上的二次函数，对称轴为t=3/2，在定义域区间t∈[1,2]内，且区间端点正好关于对称轴对称
所以，当t=3/2时，y有最小值-1/8；
当t=1或2时，y有最大值0；
所以，该函数的值域为[-1/8,0]；
（2）f(x)≧mlog2(x)即：[log2(x)-2]*[(1/2)log2(x)-1/2]≧mlog2(x)
①
令t=log2(x)，因为x∈[4,16]，所以可得t∈[2,4]；
①化为：(t-2)(t-1)/2≧mt，即：t²-3t+2≧2mt
②
因为t>0，所以，②式两边同除t，得：2m≦t+2/t-3
则2m要小于等于t+2/t-3在t∈[2,4]上的最小值；
t+2/t是对勾函数，勾底为√2，所以在区间[2,4]上是递增的；
所以：当t=2时，t+2/t-3有最小值0
所以：2m≦0
m≦0
所以，m的范围是(-∞,0]