0.999循环究竟等不等于1？
在数学的完备实数系中，循环小数0.999…, 如果被认为是实数，则“0.999…”所表示的数可被证明与“1”相同。目前该等式已经有各式各样的证明式；它们各有不同的严谨性、背景假设，且都蕴含实数的实质条件，即阿基米德性质。
这种现象也不是仅仅限于1的：对于每一个非零的有限小数，都存在另一种含有无穷多个9的写法，由于简便的原因，我们几乎肯定使用有限小数的写法，这样就更加使人们误以为没有其它写法了，实际上，一旦我们允许使用无限小数，那么在所有的进位制中都有无穷多种替代的写法，例如，18.3287与18.3286999…、18.3287000…，以及许多其它的写法，都表示相同的数。
在过去数十年里，许多数学教育的研究人员研究了大众及学生们对该等式的接受程度，许多学生在学习开始时怀疑或拒绝该等式，而后许多学生被老师、教科书和如下章节的算术推论说服接受两者是相等的，尽管如此，许多人们仍常感到怀疑，而提出进一步的辩解，这经常是由于存在不少对数学实数错误的观念等的背后因素，例如认为每一个实数都有唯一的一个小数展开式，以及认为无限小（无穷小）不等于0，并且将0.999…视为一个不定值，即该值只是一直不断无限的微微扩张变大，因此与1的差永远是无限小而不是零，因此“永远都差一点”。
我们可以构造出符合这些直观的数系，但是只能在用于初等数学或多数更高等数学中的标准实数系统之外进行，的确，某些设计含有“恰恰小于1”的数，不过，这些数一般与0.999…无关（因为与之相关的理论上和实践上都皆无实质用途），但在数学分析中引起了相当大的关注。
========== 关于证明===============
直观的解释： 上面提到0.999 ... = 1的证明依赖于实数的阿基米德性质：没有非零无穷小。 按阿基米德性质，从直观的解释来说，差异（1 − 0.999 ...）必须小于任何正有理数，因此它必须是无穷小。 但是由于实数不包含非零无穷小，因此差异为零，因此两个值相同。
注：这是一个老问题， 其很多种证明方法都已经发表在经同行评议过的学术刊物或者书籍上了！
机器翻译如下：
很多人对这个问题有疑问， 关键是对实数概念没有真正了解。
也难怪，从古希腊一直到17世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数；后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金(Richard Dedekind)、康托尔(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor)等人对实数进行了严格处理。
如果真对数学感兴确， 建议需要真正从根子上理解什么是实数。 可从网上查一查下面的概念：实数， 柯西序列， 戴德金分割， ....
数学上指的0.999循环小数永远是个数的过程，是个变量，而不是数的结果，0.999循环=1/3*3本身就不成立，有人会说1/3等于0.333循环，再乘以3不是等于0.999循环吗？其实如果严格的来说1/3不等于0.333循环，应该等于0.3（3的n次循环）+0.1的n+1次方×1/3,这样也就是说明了有些时候分数和小数不能完全等同。1/3是个结果，而0.3（3循环）是个过程，两者不能完全等同。
=
1
它们是同一个数的不同表现形式。
首先有必要说一下什么是（无穷）小数。
比如说pi
=
3.1415926....是什么意思呢？首先pi（圆周率）客观存在的，即圆的周长/圆的直径。把pi写成上面无穷小数的意思是，pi比3.1大，比3.2小；又比3.14大，比3.15小；比3.141大，比3.142小……如此下去，就能写出pi的小数形式（这就好像做竖式除法，我们要“试”除一样。竖式除法就是这么除出一个无穷小数的！）。注意！有限的小数是有理数，是我们人可以处理的！因此比较pi和一个有限小数的大小关系，是可以做到的。
总结：pi是客观存在的，无穷小数只是一种表现形式。
同理，1也是客观存在的，你可以把它写成1
=
0.9999....，即有无穷多个9,意思是它比0.9...9（任意多个9）都大，却不大于1。这样的数不是只有1吗？所以它就是1的“另一个表现形式”
(但是你不是把1写成1=
0.99...98，因为后者根本不是一个“数”，随着“9”的数目的不同，0.99...98是一个不断变化着的数，怎么能写在右边呢？)
因为0.999....
=
1，所以0.999...
+
0.999...
=
1+1
=
2，因为它们本身就是同一个数，换成1+1也是一样的。当然我不反对你把2写成1.999...
事实上，任意一个有限小数可以写成一个无限小数的形式，就是像上面一样加上一串“9”。也就是说，数的小数表示是不唯一的。当然约定俗成我们把不把无穷多个9写出来罢了。
最后，由于0.999...
>
0.99...9，所以0.999...
+
0.999...
>
1.99...98，这只能说明两个0.999...的“和”这个“数”是一个比1.99...98（任意多个9）都要来得大的数。这么就是2么！（本来就等于1+1）
以上就是以极限的观点来看无穷小数。所以所谓极限也并不复杂。
然后由等比数列的求和公式a+a*q+a*q^2+...++a*q^n=a*(1-q^n)/(1-q)
(n表示项数）
当n取正无穷且|q|<1时,a+a*q+a*q^2+...++a*q^n=a*(1-q^n)/(1-q)=a/(1-q)
0.99...=9*0.1+9*0.01+...+9*(0.1)^n=0.9/(1-0.1)=1
(n趋于正无穷且q=0.1<1)
设0.99....=X
左右乘以10，
即9.99...=10X
下式减去上式，
则9=9X
X=1
故0.99...=1
故此题得证。还要一种方法是用极限的方法，一样可以得证，就不列举了。
