Question

已知在△ABC中，∠BAC:∠ABC：∠ACB=4:2:1,AM是∠BAC的平分线，求证：AM=AC-AB

Answer 1

在AC上取点D，使AD＝AB。
令∠ACB＝θ，则∠ABC＝2θ、∠BAC＝4θ。
∵∠BAM＝∠DAM，∴∠BAM＝∠DAM＝∠BAC/2＝2θ，∴AM＝BM。
∵AB＝AD、AM＝AM、∠BAM＝∠DAM，∴△BAM≌△DAM，
∴DM＝BM、∠ADM＝∠ABC＝2θ。
由
三角形外角定理
，有：∠ADM＝∠C＋∠CMD，∴2θ＝θ＋∠CMD，∴∠CMD＝θ，
∴∠CMD＝∠C，∴DM＝CD。
∵AM＝BM、DM＝BM、DM＝CD，∴AM＝CD。
显然有：CD＝AC－AD＝AC－AB，∴AM＝AC－AB。

Answer 2

在AC
上取一点O,使AO=AB
连接MO
∠BAC:∠ABC：∠ACB=4:2:1,
所以∠BAM=∠MAC=∠ABM
三角形ABM全等于三角形AMO
所以∠AOM=∠ABM=2∠ACM
所以∠OMC=∠OCM
所以OC=OM=AM
所以AM=AC-AB

Answer 3

因为∠bac：∠abc：∠acb=4：2：1
所以分别设∠bac、∠abc、∠acb为4x、2x、x
又因为am是∠bac的平分线
所以∠bam=∠mac
所以am=bm
把ab以am旋转到ac上与ac交点为d
因为∠bam=∠mac
所以ab=ad
所以△abm≌△adm
所以bm=dm=am
所以∠cam=∠d=∠abc=x
所以cd=dm=bm=dm
所以am=ac-ab