Question

泰勒公式与泰勒中值定理的区别

Answer 1

总的来说，泰勒中值定理是泰勒公式的一种。
首先，要明白什么是中值定理，顾名思义，就是要对“中间”的“值”而言的，即某函数在某区间的某一点或几点上存在的性质。常表述为：“在[
，]上必存在点（或至少存在一值）m，使得……成立。”
其次，泰勒公式常见的可分为两类，区分标准主要体现在余项上。按余项分类，泰勒公式分两种：一种是带有拉格朗日型余项的，这一类的表述中有“在某区间上存在某值使得某式成立”的含义，所以属于泰勒中值定理。而另一种（带有佩亚诺余项的），最后一项仅仅用等价无穷小代替了，不能算是中值定理。
（说的比较零碎，希望能帮到你！！！）

Answer 2

泰勒中值定理：
若函数f(x)在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x。)多项式和一个余项的和：
　　
f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+rn(x)
　　
其中rn(x)=【f(n+1)(ξ)/(n+1)!】*(x-x。)^(n+1)，这里ξ在x和x。之间
麦克劳林公式
若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
　　f(x)=f(0)+f'(0)x+【f''(0)/2!】x^2,+【f'''(0)/3!】x^3+……+【f(n)(0)/n!】x^n+rn
　　其中rn=【f(n+1)(θx)/(n+1)!】x^(n+1),这里0<θ<1。