Question

（1）证明：cos2α+cos2β=2cos（α+β）cos（α-β）；（2）在...

（1）证明：cos2α+cos2β=2cos（α+β）cos（α-β）； （2）在△ABC中，若A=π3，求sin2B+sin2C的最大值．

Answer 1

（1）证明：左边=cos2α+cos2β
=cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）
+cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=2cos（α+β）cos（α-β）=右边，
原式得证；
（2）∵在△ABC中，A=π3，∴C=2π3-B，
∴B∈（0，2π3），
∴sin2B+sin2C=sin2B+sin2（2π3-B）
=sin2B+（32cosB+12sinB）2
=54sin2B+32sinBcosB+34cos2B
=54•1-cos2B2+32•12sin2B+34•1+cos2B2
=1+34sin2B-14cos2B=1+12sin（2B-π6）
∵B∈（0，2π3），∴2B-π6∈（-π6，7π6），
∴当2B-π6=π2时，上式取到最大值32