Question

初二数学题（勾股定理的逆定理）

1.如图①，△ABC中，AC=2cm，∠A=30°，∠B=45°，试求AB的长 2.如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，DE⊥AB于E，请证明：BE的平方=BC的平方+AE的平方 3.如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是三角形内一点，且PA=3，PC=2，求∠BPC的度数 4.据我国古代《周髀算经》记载，商高曾对对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五，后人概括为“勾三，股四，弦五”。 （1）观察：3、4、5、，5、12、13、，7、24、25，……发现这几组勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9＋1）与0.5（25－1）、0.5（25＋1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7、24、25这一组数的股与弦的算式 （2）根据（1）的规律，若用n(n为奇数且n≥3)来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的关系并对其中一种猜想加以证明 （3）继续观察4，3，5；6，8，10…可以发现各组的第一数都是偶数，且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用含有m（m为偶数，且m＞4）的式子表示它们的股与弦

Answer 1

将△PBC绕B点逆时针旋转90°至BC与AB重合，得到一个新的△AQB，可知：BQ=PB=2，QA=PC=3，∠ABQ=∠PBC，
由于∠PBC+∠ABP=90°，所以∠PBQ=∠ABQ+∠ABP=∠PBC+∠ABP=90°，则△PBQ是一个等腰直角三角形，
故：∠BPQ=45°，
由勾股定理，得:PQ^2=PB^2+BQ^2=2^2+2^2=8，
另外，在△APQ中，PA^2+PQ^2=1^2+8=9=QA^2，由勾股定理知：△APQ是一个以∠APQ为直角的直角三角形，即∠APQ=90°。
综上得：∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°+45°=135°。