Question

数学中考题

28．（13分）等边△ABC边长为6，P为BC上一点,含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转．
（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状．
（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积．
（3）在三角板旋转过程中，若CF=AE=2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．

Answer 1

解：（1）∵PE⊥AB，∠B=60°，
因此直角三角形PEB中，BE= BP= BC=PC，
∴∠BPE=30°，
∵∠EPF=60°，
∴FP⊥BC，
∵∠B=∠C=60°，BE=PC，∠PEB=∠FPC=90°，
∴△BEP≌△FPC，
∴BE=PF，
∵∠EPF=60°，
∴△EPF是等边三角形．

（2）过E作EH⊥BC于H，
由（1）可知：FP⊥BC，FC=BP= BC=4，BE=CP= BC=2，
在三角形FCP中，∠PFC=90-∠C=30°，
∵∠PFE=60°，
∴∠GFC=90°，
直角三角形FGC中，∠C=60°，CF=4，
∴GC=2CF=8，
∴GB=GC-BC=2，
直角三角形BEP中∠EBP=60°，BP=4，
∴PE=2 ，BE=2，
∴EH=BE•PE÷BP= ，
∴S△GBE= BG•EH= ；

（3）∵CF=2，AC=6，
∴CF= AC=PC，
∴△CPF是等边三角形，
∴∠FPC=60°，
∴∠BPE=180-60-60=60°，
又∵∠B=60°，
∴△EBP是等边三角形，
∴∠BEP=∠PFC=60°，
∴∠PEA=∠PFA，
∵∠A=∠EPF=60°，
∴四边形EPFA是平行四边形，
∴PE=AF=6-2=4．

Answer 2

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Answer 3

第一问，角b=60，角peb=90，则角epb=30，be=bp/2=pc.角epb=30，角epf=60，则角fpc=90.pe=pf，又因为∠epf=60.等边就出来了。第二问，∠fpg=90，∠gfp=60，则∠fgp=30，又因为∠ebp=60，则∠geb=30，△gbe是等腰三角形，gb=be。又因为be=bp/2，则△bge的面积等于1/2△bep，三角形bep面积是be乘以pe，2被根号3.则三角形bge面积就是根号3.

Answer 4

1)等边三角形，三角天BPE 与 PFC 全等
PE＝PF 且 角EPF＝60度
2）GB＝2 ，高为根号3 面积为根号3
3）AEPF 为平行四边开，PE＝4