Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=6，把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，BD：DC=1：2，折痕为EF，点E在AB

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=6，把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，BD：DC=1：2，折痕为EF，点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。

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Answer 1

解析如下：

解：因为BD：DC=1：2，BC=6

所以BD=2,CD=4

因为△ABC进行折叠，使点A与点D重合

所以AE=DE

设DE=x，则BE=AB-AE=6-x

在直角三角形BDE中，由勾股定理，得

DE^2=BD^2+BE^2

即x^2=2^2+(6-x)^2

解得x=10/3

所以BE=6-10/3=8/3

在直角三角形BCE中，由勾股定理，得，EC^2=BE^2+BC^2=(8/3)^2+6^2=45

所以EC=3√5。

勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

Answer 2

从问题出发，要求CE，就需要将其放入到三角形中去求解，可以连接CE，在直角三角形CBE中，灵活运用直角三角形的勾股定理，CE的平方=BE的平方+CB的平方，CB=6，BE可放入直角三角形ABD和BED中去求解就可以了。
具体解题过程：
因为BD：DC=1：2，所以∠BAD=15°，∠DAC=30°，又因为把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，所以∠ADB=75°，所以∠EDB=∠ADB-∠ADE=75°-15°=30°，所以在直角三角形BED，BD=2，所以BE=2倍的根号3，在直角三角形CBE中，CB=6，BE=2倍的根号3，运用勾股定理，CE=4倍的根号3

Answer 3

解：因为BD：DC=1：2，BC=6,
所以BD=2,CD=4,
因为△ABC进行折叠，使点A与点D重合
所以AE=DE
设DE=x，则BE=AB-AE=6-x,
在直角三角形BDE中，由勾股定理，得，
DE^2=BD^2+BE^2,
即x^2=2^2+(6-x)^2,
解得x=10/3,
所以BE=6-10/3=8/3,
在直角三角形BCE中，由勾股定理，得，EC^2=BE^2+BC^2=(8/3)^2+6^2=45
所以EC=3√5