Question

已知数列{an}中，a1=1，an=2nn-1an-1+n（n≥2，n∈N*）．...

已知数列{an}中，a1=1，an=2nn-1an-1+n（n≥2，n∈N*）．且bn=ann+λ为等比数列， （Ⅰ）求实数λ及数列{bn}、{an}的通项公式； （Ⅱ）若Sn为{an}的前n项和，求Sn； （Ⅲ）令cn=bn(bn-1)2，数列{cn}前n项和为Tn．求证：对任意n∈N*，都有Tn＜3．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n≥2，n∈N*时，an=2nn-1an-1+n，
∴ann=2an-1n-1+1，即ann+1=2(an-1n-1+1)，故λ=1时
有bn=2bn-1，而b1=a11+1=2≠0
bn=2•2n-1=2n，从而an=n•2n-n
（Ⅱ）Sn=1•2+2•22+…+n•2n-（1+2+…+n）
记Rn=1•2+2•22+…+n•2n
则2Rn=1•22+2•23+…+n•2n+1
相减得：-Rn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=2(1-2n)1-2-n•2n+1
∴Sn=（n-1）2n+1-n2+n-42
（Ⅲ）cn=2n(2n-1)2＜2n(2n-1)(2n-2)2
=2n-1(2n-1)(2n-1-1)2=12n-1-1-12n-1(n≥2)
n≥2时，Tn＜2121-1+12-1-122-1+…+12n-1-1-12n-1(n≥2)
=2+1-12n-1＜3
而T1=22-1=2＜3
∵∀n∈N*，7n＜3．