Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an=1-2Sn，(n∈N*)(Ⅰ)证明数...

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an=1-2Sn，(n∈N*) (Ⅰ)证明数列{bn}为等比数列; (Ⅱ)设bn=n(an-1)，求数列{bn}的前n项和Tn.

Answer 1

解答:(I)证明:∵数列{an}的前n项和为Sn，满足an=1-2Sn，
∴n≥2时，an-1=1-2Sn-1，
两式相减得:an-an-1=-2(Sn-Sn-1)=-2an，
∴
an
an-1
=
1
3
，n≥2，
又n=1时，an=1-2S1=1-2a1，解得a1=
1
3
，
∴数列{an}为首项为
1
3
，公比为
1
3
的等比数列.
(II)解:由(I)知an=
1
3n
，
∴bn=n(an-1)=n•
1
3n
-n，
∴Tn=(1×
1
3
-1)+(2×
1
32
-2)+…+(n•
1
3n
-n)
=(1×
1
3
+2×
1
32
+…+n×
1
3n
)-
n(n+1)
2
，
令Pn=1×
1
3
+2×
1
32
+…+n×
1
3n
，(1)
1
3
Pn=1×
1
32
+2×
1
33
+…+n×
1
3n+1
，(2)
(1)-(2)，得
2
3
Pn=
1
3
+
1
32
+
1
33
+…+
1
3n
-n×
1
3n+1
=
1
3
(1-
1
3n
)
1-
1
3
-n×
1
3n+1
=
1
2
-
1
2
×
1
3n
-n×
1
3n+1
.
∴Pn=
3
4
-
n+9
3n+1
.
∴Tn=
3
4
-
n+9
3n+1
-
n(n+1)
2
.