Question

大学高等数学求解第六题和第八题

向左转|向右转

Answer 1

都用反证法做：
6.假设B的列向量组线性相关，记B的列向量组为{b1,b2,...,bn}，则有不全为0的n个常数{c1,c2,...,cn}，使得：
c1*b1+c2*b2+...+cn*bn=0（等式两边都是(n+2)*1维的列向量）
那么把上面的bi去掉最后两位，变成A的列向量组{a1,a2,...,an}，显然等式右边得到一个n*1维的零向量，即：
c1*a1+c2*a2+...+cn*an=0（等式两边都是n*1维的列向量）
又由于前面的假设{c1,c2,...,cn}不全为0，所以A的列向量组{a1,a2,...,an}线性相关，推出A不是列满秩，与A可逆相矛盾。
所以假设不成立，即B的列向量组是线性无关的。
8.假设{a1,a2,a3}线性相关，那么存在不全为0的常数组{c1,c2,c3}，使得：
c1*a1+c2*a2+c3*a3=0，
其中至少有一个不为0，不妨假设是c3不等于0，从而得到：
a3=
(-c1/c3)
*
a1
+
(-c2/c3)
*
a2
由题意，b能由向量组{a1,a2,a3}线性表示，设
b=k1*a1
+
k2*a2
+
k3*a3
=k1*a1
+
k2*a2
+k3*
[(-c1/c3)*a1
+
(-c2/c3)*a2]
=[k1-k3*
c1/c3]
*a1
+
[k2-k3*c2/c3]
*a2
即b也可以由{a1,a2}线性表示，与题意矛盾。
所以假设不成立，即{a1,a2,a3}线性无关。