微分方程题 y''+y=e^x+cosx
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∵齐次方程y''+y=0的特征方程是r²+1=0,则特征根是r=±i(i是虚数单位)
∴此齐次方程的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1,C2是积分常数)
于是,设原方程的解为y=Ae^x+x(Bcosx+Csinx)
代入原方程,得Ae^x-2Bsinx+2Ccosx-x(Bcosx+Csinx)+Ae^x+x(Bcosx+Csinx)=e^x+cosx
==>2Ae^x-2Bsinx+2Ccosx=e^x+cosx
==>2A=1,-2B=0,2C=1
==>A=1/2,B=0,C=1/2
即原方程的一个解是y=(e^x+xsinx)/2
故原方程的通解是y=C1cosx+C2sinx+(e^x+xsinx)/2 (C1,C2是积分常数).
∴此齐次方程的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1,C2是积分常数)
于是,设原方程的解为y=Ae^x+x(Bcosx+Csinx)
代入原方程,得Ae^x-2Bsinx+2Ccosx-x(Bcosx+Csinx)+Ae^x+x(Bcosx+Csinx)=e^x+cosx
==>2Ae^x-2Bsinx+2Ccosx=e^x+cosx
==>2A=1,-2B=0,2C=1
==>A=1/2,B=0,C=1/2
即原方程的一个解是y=(e^x+xsinx)/2
故原方程的通解是y=C1cosx+C2sinx+(e^x+xsinx)/2 (C1,C2是积分常数).
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