这一个定积分不等式怎么证明？
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分析：运用基本定积分不等式方法
解：
构造函数：F(x)=[∫(0,x) f(t)dt]² - ∫(0,x) f³(t)dt，其中：0≤x≤1
∴F'(x)
=2f(x)∫(0,x) f(t)dt - f³(x)
=f(x)·[2∫(0,x) f(t)dt - f²(x)]
再构造函数：G(ξ)=2∫(0,ξ) f(t)dt - f²(ξ)，其中：0≤ξ≤x
∴G'(ξ)
=2f(ξ)-2f(ξ)·f'(ξ)
=2f(ξ)·[1-f'(ξ)]
∵0<f'(x)<1
∴0<1-f'(ξ)<1
∴f(ξ)≥f(0)=0
于是：G'(ξ)>0
G(x)≥G(ξ)=0
即：2∫(0,x) f(t)dt - f²(x)≥0
又∵f'(x)>0
∴f(x)≥f(0)=0
因此：
F'(x)>0
于是：
F(1)≥F(x)
即：
∫(0,1) f(x)dx]² ≥∫(0,1) f³(x)dx
解：
构造函数：F(x)=[∫(0,x) f(t)dt]² - ∫(0,x) f³(t)dt，其中：0≤x≤1
∴F'(x)
=2f(x)∫(0,x) f(t)dt - f³(x)
=f(x)·[2∫(0,x) f(t)dt - f²(x)]
再构造函数：G(ξ)=2∫(0,ξ) f(t)dt - f²(ξ)，其中：0≤ξ≤x
∴G'(ξ)
=2f(ξ)-2f(ξ)·f'(ξ)
=2f(ξ)·[1-f'(ξ)]
∵0<f'(x)<1
∴0<1-f'(ξ)<1
∴f(ξ)≥f(0)=0
于是：G'(ξ)>0
G(x)≥G(ξ)=0
即：2∫(0,x) f(t)dt - f²(x)≥0
又∵f'(x)>0
∴f(x)≥f(0)=0
因此：
F'(x)>0
于是：
F(1)≥F(x)
即：
∫(0,1) f(x)dx]² ≥∫(0,1) f³(x)dx
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