Question

线代行列式？

求行列式 1 1 1 1 a b c d a2 b2 c2 d2 a4 b4 c4 d4。 a2表示a的平方 类推 还是这个问题 x3的系数怎么算啊?
作辅助行列式 D1 =1 1 1 1 1a b c d xa2 b2 c2 d2 x2a3 b3 c3 d3 x3a4 b4 c4 d4 x4由行列式展开定理可知,这个行列式的x^3的系数*(-1)^(4+5)就是原行列式由范德蒙行列式的结论,D1 = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).x^3 的系数为 -(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).所以原行列式 D =(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).
请问x^3的系数是怎么得来的的，详细一点！！

Answer 1

1 1 1 1
a b c d
a2 b2 c2 d2
a4 b4 c4 d4，
第一、二、三列分别减去第四列后按第一行展开得(-1)*
a-d b-d c-d
a^2-d^2 b^2-d^2 c^2-d^2
a^4-d^4 b^4-d^4 c^4-d^4,
第一、二、三列分别提取公因式a-d,b-d,c-d,得-（a-d)(b-d)(c-d）*
1 1 1
a+d b+d c+d
(a+d)(a^2+d^2) (b+d)(b^2+d^2) (c+d)(c^2+d^2)
第一、二列分别减去第三列后按第一行展开得-（a-d)(b-d)(c-d）*
a-c b-c
a^3-c^3+(a-c)d^2+(a^2-c^2)d b^3-c^3+(b-c)d^2+(b^2-c^2)d
=-（a-d)(b-d)(c-d）(a-c)(b-c)[a^2+ac+c^2+d^2+ad+cd-(b^2+bc+c^2+d^2+bd+cd)]
=-（a-d)(b-d)(c-d）(a-c)(b-c)[a^2-b^2+(a-b)(c+d)]
=-（a-d)(b-d)(c-d）(a-c)(b-c)(a-b)(a+b+c+d).
可以吗？