Question

如下图,已知四边形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=√3AC

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Answer 1

证明：如图，在AB上截取AE=AD、连接CE，做CF⊥AB，垂足为F

∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠EAC

在△DAC和△EAC中

AE=AD

∠DAC=∠EAC

AC=AC

∴△DAC≌△EAC（SAS）

∴∠D=∠AEC、AE=AD

又∵∠CEB+∠AEC=180°

∠B+∠D=180°

∴∠B=∠CEB

∴△CEB为等腰三角形

又∵CF⊥EB

∴EF=EB【等腰三角形三线合一性质】

在Rt△CAF中

∠CAF=30°【平分线性质】

∴AF=(√3/2 )AC

即：2AF=√3AC

AF+AF=√3AC

（AE+EF）+（AB-BF）=√3AC

AE+AB=√3AC【这里AE=AD】

∴AB+AD=√3AC

Answer 2

图没传上来，告诉我AD和AB哪一条比较长，因为我要画垂线，交点一个要在延长线上。∠B和∠D哪个是锐角？

Answer 3

∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠EAC
在△DAC和△EAC中
AE=AD
∠DAC=∠EAC
AC=AC
∴△DAC≌△EAC（SAS）
∴∠D=∠AEC、AE=AD
又∵∠CEB+∠AEC=180°
∠B+∠D=180°
∴∠B=∠CEB
∴△CEB为等腰三角形
又∵CF⊥EB
∴EF=EB
在Rt△CAF中
∠CAF=30°
∴AF=(√3/2 )AC
即：2AF=√3AC
AF+AF=√3AC
（AE+EF）+（AB-BF）=√3AC
AE+AB=√3AC∴AB+AD=√3AC