Question

已知函数f（x）=2x-12x+1．（1）判断函数f（x）的奇偶性； （2）证...

已知函数f（x）=2x-12x+1． （1）判断函数f（x）的奇偶性； （2）证明：在f（x）上R为增函数； （3）证明：方程f（x）-lnx=0在区间（1，3）内至少有一根．

Answer 1

（1）解：f（x）为奇函数．证明如下：
函数定义域为R，关于原点对称，
又f（-x）=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-2x-12x+1=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）=1-22x+1，
任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（1-22x1+1）-（1-22x2+1）=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
因为x1＜x2，所以2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在R上为增函数；
（3）证明：令g（x）=f（x）-lnx=1-22x+1-lnx，
因为g（1）=13＞0，g（3）=1-223+1-ln3=79-ln3＜0，
又g（x）在（1，3）上图象连续不断，
所以函数g（x）在（1，3）上至少有一个零点，
即方程f（x）-lnx=0在区间（1，3）内至少有一根．