Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数．且x=-1...

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数．且x=-1时，取得极值1． （1）求f（x）的解析式． （2）曲线上是否存在两个不同的点A、B，使过A、B的切线都垂直于AB．说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是定义R上的奇函数
∴b=0
∴f（x）=ax3+cx，∴f′（x）=3ax2+c
依题意有f′（-1）=0且f（-1）=1
即3a+c=0-a-c=1，解得，a=12，c=-32
∴f（x）=12x3+-32x
（2）假定存在A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
则有KAB=12x2 -32x23-12x13+ 32x1 x2-x1=12（x13+x1x2+x23）-32
f′（x）=32x2-32
依题意f′（x1）=f′（x2）=32x12-32=32x22-32
且x1≠x2
∴x1=-x2，kAB=12x12-32
又KAB-f′（x1）=-1得（12x12-32）-32（x12-1）=-1
化简得x14-4x12+133=0，△＜0，无解
∴假设不成立，故不存在．