Question

若实数,满足.求:的最大值和最小值;的最小值;的最大值和最小值.

若实数,满足.求: 的最大值和最小值; 的最小值; 的最大值和最小值.

Answer 1

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,设,即,求出直线与圆相切时,的值,即可确定斜率取最大值或最小值;可看作是直线在轴上的截距,当直线与圆相切时,纵截距取得最大值或最小值;是圆上点与点的距离的平方,根据几何意义可求出最大值和最小值.
解:原方程表示以为圆心,为半径的圆,的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设,即当直线与圆相切时,斜率取最大值或最小值,此时,,的最大值为,最小值为;可看作是直线在轴上的截距,当直线与圆相切时,纵截距取得最大值或最小值,此时,解得,所以的最小值为;是圆上点与点的距离的平方,圆心为,,连接交圆于,延长交圆于,,则,,的最大值为和最小值.
本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线距离公式的运用,考查学生的计算能力,解题的关键理解所求表达式的几何意义,属于中档题.