Question

求隐函数y的二阶导数d^2y/dx^2 要过程。 xe^f(y)=e^y

其中f(u)二阶可导，且f‘不为1

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

两边关于x求导，注意y是x的函数
y'cosy=[1/(x+y)]*(1+y')。。。。。。。①
解得y'=1/(x+y)÷[cosy-
1/(x+y)]...............②
对①两边关于x求导可得
y''cosy-(y')²siny=[1/(x+y)]y''-[1/(x+y)²](1+y')²
解得y''={(y')²siny-[1/(x+y)²](1+y')²}÷[cosy-
1/(x+y)]。。。。。。③
把②代入③即可得最后结果

Answer 3

分子两边关于x求导，注意y,f(y)均为x的函数
e^f(y)+x
*
f'(y)
*
y'
*
e^f(y)=y'e^y
两边再关于x求导
f'(y)*
y'
*
e^f(y)+
f'(y)
*
y'
*
e^f(y)+
x
*
f''(y)
*
(y')²
*
e^f(y)+
x*
f'(y)
*
y''
*
e^f(y)+
x*
[f'(y)]²
*
[y']²
*e^f(y)
=y''e^y+
(y')²e^y
化简可得
2f'(y)
*
y'
*
e^f(y)+
x
*
f''(y)
*
(y')²
*
e^f(y)+
x*
[f'(y)]²
*
[y']²
*e^f(y)-(y')²e^y
=y''
*
[e^y-x*
f'(y)
*
e^f(y)]
从而d²y/dx²=y''=
{2f'(y)
*
y'
*
e^f(y)+
x
*
f''(y)
*
(y')²
*
e^f(y)+
x*
[f'(y)]²
*
[y']²
*e^f(y)-(y')²e^y}/[e^y-x*
f'(y)
*
e^f(y)]
还可以把第一步求得的y'代入上式，再整理可得更一般的结果！
不明白的可以追问，如果有有帮助，请选为满意回答！