Question

椭圆E中心在坐标原点，焦点在x轴上，其离心率e=√ 6/3，过点C(-1,0)的直线

椭圆E中心在坐标原点，焦点在x轴上，其离心率e=√ 6/3，过点C(-1,0)的直线l与椭圆E相交于点A,B两点，且向量AC=2向量CB，求用直线l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面积。要详细过程。有追加分。

Answer 1

由于椭圆的离心率为e=√ 6/3，可以设椭圆的方程为
x＾2/9m＾2+y＾2/3m＾2=1,即x＾2+3y＾2=9m＾2
直线的方程为y=k(x+1)
联立两方程得
（1+3k＾2)x＾2+6k＾2x+(3k＾2-9m＾2)=0
由于直线和椭圆的两个交点必有一个在x轴上方，一个在下方
可以设A在上方
设A(x1,y1) B(x2,y2)
则x1+x2=-6k＾2/(1+3k＾2)
由于向量AC=2向量CB，故有|y1|=2|y2|, x1+1=2(-1-x2)
即y1=-2y2同时x1+x2=-3-x2
三角形的面积S=1/2x1x|y1|+1/2x1x|y2|=-3y2/2=-3k(x2+1)/2
又由于x1+x2=-3-x2=-6k＾2/(1+3k＾2)，得
x2=-3(1+k＾2)/(1+3k＾2)
x2+1=-2/((1+3k＾2)
从而S=-3k(x2+1)/2
=3k/(1+3k＾2)
(说明一下，思路是假定k>0的情况下，如果k<0,此时点A在x轴的下方，可以类似讨论，不过结果应该一样，希望对你有帮助）

Answer 2

设椭圆长轴长为2a，e=c/a=√ 6/3，c=√ 6a/3，b=√ 3a/3
椭圆方程为：x^2/a^2+3y^2/a^2=1
直线方程为：y=k(x+1)代入椭圆方程得：（3k^2+1)x^2+6k^2x+3k^2-a^2=0
设交点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则：x1+x2=-6k^2/(3k^2+1)
又向量AC=2向量CB，故x1+1=2（-1-x2)，x1=-2x2-3，
x2=-1-2/（3k^2+1)，x1-x2=-3x2-3=6/（3k^2+1）
y1-y2=k（x1+1）-k（x2+1）=k（x1-x2）
S△OAB=1/2*|OC|*|Y1-Y2|=1/2*1*6/（3k^2+1）=3k/（3k^2+1）