Question

高中数学，求详解，多谢。。。。。

向左转|向右转

Answer 1

（1）
直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B
这说明方程组：
y=kx+1
2x^2-y^2=1
中x有2个不相等的正数根。
即：2x^2
-
(kx+1)^2
=
1
有2个不等的正数根，整理一下：
(2-k^2)x^2
-
2kx
-
2
=
0
因此：
x1
+
x2
=
2k/(2-k^2)
>
0
……（1）
且
x1
*
x2
=
-2/(2-k^2)
>
0
……（2）
且
△
=
(-2k)^2
+
8(2-k^2)
=
16-4k^2
>
0
……（3）
由（2），得：k^2
>
2
由（3），得：k^2
<
4
由（1）÷（2）得：k<0
所以，k的范围为：-2<k<-√2
（2）
假设存在这样的k，则根据圆的性质，AF与BF垂直。
先求F的坐标。双曲线的a=√2/2，b=1，则c=√6/2，F的坐标为(√6/2,
0)
设A、B坐标分别为A(x1,
y1)，B(x2,
y2)，则由AF垂直BF，得：AF的斜率
*
BF的斜率
=
=1
因此：
[
y1
/
(x1
-
√6/2)
]
*
[
y2
/
(x2
-
√6/2)
]
=
-1
整理，得：
y1*y2
=
-x1*x2
+
(√6/2)(x1+x2)
-
3/2
由于y
=
kx+1，所以：y1*y2
=
(kx1
+
1)(kx2
+
1)
=
k^2*x1*x2
+
k(x1+x2)
+
1
而x1
+
x2
=
2k/(2-k^2)，x1
*
x2
=
-2/(2-k^2)
代入，得：
5k^2
+
2√6k
-
6
=
0
解得：k
=
(-√6
-
6)
/
5（k<0，舍去正根）
比较得到，这个k落在(-2,
-√2)范围内。
所以k存在，且k
=
(-√6
-
6)
/
5