Question

一道高中数列问题

数列{a(n)}，a(1)=1，a(n+1)=c-1/a(n)，求：（1）若c=5/2，b(n)=1/(a(n)-2)，求{b(n)}通项公式；（2）求使a(n)<a(n+1)<3成立的c的取值范围
第一小问已经搞定了，大家下足火力攻第二题吧~
(不好意思我看错题了~，大家再计一下吧）

Answer 1

对于第二问:
方法一：
由题意可知：数列an单调递增而且有界，根据极限存在定理，可知道，必然会有一个极限h使得lim(n→∞)an=h，対原式两边取极限，有lim(n→∞)a(n+1)=lim(n→∞) (c-1/an ),可得c=
h+1/h，显然h>a1，即h>1，又由题意有a(n+1)<3，因此h≤3，可得c的范围是（2，10/3]
方法二：
首先因为an递增，显然a2>a1，代入递推式可知：c>2，然后设c=k+1/k，bn=1/(an-k),由于c>2，显然对于任意k>0且k≠1均满足，对递推式两边同时减去k，然后整理有：1/(a(n+1)-k)=(kan-k^2+k^2)/(an-k),继续化简有：b（n+1）=k+k^2bn看，又b1=1/1-k，根据不动点或者构造等比数列，可知：
bn=k^2（n-1）（1/1-k^2）+k/1-k^2，从而an=[1-k^2/k^2（n-1）+k]+k，显然对于任意k>0且k≠1，1-k^2/k^2（n-1）+k均递减且趋向于0，因此an也趋向于k，但是，若k<1，从第二项开始均小于1，不满足题意，排除。又an<3，所以k≤3，综合上述k的范围是（1，3]，从而可知可得c的范围是（2，10/3]
第1问很简单，两边-2，通分倒数即可

Answer 2

c=a(n+1)+1/a(n)>a(n)+1/a(n)>=2
先可以得出c>2
然后c=a(n+1)+1/a(n)<a(n+1)+1/a(n+1)
由于a(n+1)<3
而a(n+1)+1/a(n+1)在区间（1，无穷大）是递增的
所以a(n+1)+1/a(n+1)<3+1/3=10/3
所以2<c<10/3
懂了没，如果没懂，可以继续问我哦，很乐意解答

Answer 3

我就只对第二问进行回答：
只需满足两个条件：
（1）a(1)<a(2); (2)c<=3
解(1)可得：1<c-1即c>2
所以c的取值范围为（2,3]
请分享第一问的答案