Question

如图，在三角形ABC中，角A=90度，AB=AC，角ABC的平分线BD交AC于点D，CE垂直BD的

如图，在三角形ABC中，角A=90度，AB=AC，角ABC的平分线BD交AC于点D，CE垂直BD的延长线于点E。求证CE=BD的一半

Answer 1

设ab=ac=1，则bc=√2，bd平分∠abc,由角平分线性质，ad/dc=ab/bc=1/√2，
由比例性质，ad/(ad+dc)=1/(1+√2)=√2-1，
∴ad=√2-1，
由勾股定理，bd=√[(√2-1)^2+1]=√(4-2√2),
bd平分∠abc,ce⊥bd,
∴△bad∽△bec,
∴bd/bc=ad/ec,
∴ce=ad*bc/bd=(√2-1)√2/√(4-2√2)=(2-√2)√(4-2√2)/(4-2√2)=√(4-2√2)/2=bd/2.

Answer 2

延长CE和BA交于F
∵BD平分∠ABC
∴∠CBE=∠ABE=∠FBE
∵CE⊥BD即CE⊥BE
∴∠BEC=∠BEF=90°
∵BE=BE
∴△BEC≌△BEF(ASA)
∴CE=EF=1/2CF
∵∠BAC=90°，那么∠FAC=∠CED=90°
∴∠CDE=90°-∠ACF
∠F=90°-∠ACF
∴∠F=∠CDE
∵∠BDA=∠CDE(
对顶角
相等）
∴∠BDA=∠F
∵∠FAC=∠DAB=90°
AB=AC
∴△ABD≌△ACF(AAS)
∴BD=CF=1/2CE
即CE=1/2BD