Question

中国剩余定理的典故

Answer 1

“
中国古代数学有着辉煌的成就，今天大小吴将为大家介绍在中国数学史上非常著名的中国剩余定理。
1 韩信点兵问题

这个问题首先要从一个叫做“韩信点兵”的故事说起。

秦末时期，楚汉相争，汉初三杰之一的韩信有一次带1500名兵士打仗，战死四五百人。为了统计剩余士兵的个数，韩信令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韩信据此很快说出人数：1049人。汉军本来就十分信服韩信大将军，经此之后就更加相信韩信是“天神下凡，神机妙算"，于是士气大振，鼓声喧天，在接下来的战役中汉军步步紧逼，楚军乱作一团，大败而逃。韩信由此名扬天下，被后世誉为“兵仙“，“神帅”。

那么韩信是如何快速算出士兵人数的呢？韩信点兵问题可以用现代数学语言描述如下：若士兵人数是，则有除以3余2，除以5余4，除以7余6.

我们也可以用同余式来表示这个问题：

我们发现，若将，则可以同时被3、5、7整除，即

所以一定是3、5、7的最小公倍数的整数倍，由于3、5、7两两互素，则

所以

即

其中是正整数，当时

这样，韩信就计算出了剩余士兵的人数。

2 孙子算经与物不知数问题

实际上，这类问题就是在求解初等数论中的同余方程组。在数学史上韩信点兵问题也被称为物不知数问题，最早记载于一千多年前的《孙子算经》中：

“
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
转化为现代数学语言，即解整数满足的同余式

这个问题和上文所说的韩信点兵问题类似，但是，它不具备上一个问题那么好的性质，因为无论使加上或减去一个数，都无法同时被3、5、7整除。那么，这个问题该如何解决呢？

宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：

“
三人同行七十稀，五树梅花廿一支（二十一），七子团圆正半月，除百零五使得知。
这首诗的意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除以105得到的余数就是答案。

根据这个算法，可得：

因此物不知数问题的最小正整数解即为，事实上，23确实满足除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个问题的通解为

其中是自然数。

3 中国剩余定理

对于这个问题，如果是一般情况，该如何处理呢？例如，有同余式：

我们把这个问题分解成三个同余式方程组

那么初始问题就有最小正整数解

因此只要能找到满足条件的即可。以为例，由同余式可得，

因此

所以存在使得

因此

其中的存在性可以证明，因为有如下定理：

“
若，则必然存在使得
对于这个定理的证明，可以考虑集合中的最小正整数，只要证明这个最小正整数就是1即可。

考虑其中最小的正整数，，只需证明且，由于互素，所以只能为1.

这件事可以用反证法证明：若不能整除，则必有

因此

因此余数也可以表示成一个整数乘以加上另一个整数乘以的形式，又因为是小于的，这就和最开始的假设是最小的正整数相矛盾了，因此必有

因此存在性得证。

事实上这样的不仅存在，而且也比较好寻找，其中70就是既能被5、7同时整除又能除以3余1的最小正整数，所以，同理可得，，因此这类问题就有了通解：

原来上面的古诗中出现的70、21、15这三个数是这么来的！

一般来讲，给定个不同的素数，则同余方程组

一定是有解的，求解这个问题只需构造基础解系:

因此有

因为都是素数，因此的存在性是显然的。

求解上述问题的过程与方法就称为“中国剩余定理”，又称为“孙子定理”。

中国剩余定理的传播最早在1852年由英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲。1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，成为了初等数论中非常重要的一个定理。

Answer 2

我国古代的重要数学著作《孙子算经》中有一问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”答曰：“二十三。”这段话译成白话是：“有一堆东西不知有多少个，如果三个三个数，剩二个，如果五个五个数，剩三个，如果七个七个数剩二个。问这堆东西有多少?答案是二十三个。”这个问题的解决，叫“孙子定理”，国外称为“中国剩余定理”。

这个问题的解法明朝程大位写成一首诗是：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”这首诗里隐含着70、21、15、105这4个数，只要牢记这4个数，解答此题便轻而易举了。在《孙子算经》中详细介绍了这种奇妙算法：凡是每3个一数最后余1的，就取1个70，最后余2的，便取2个70；每5个一数最后余1的，就取1个21，余2的，就取2个21；每7个一数最后余1的，就取1个15，余2的取2个15。把这些数加起来，如果得数比105大，减去105，所得的两组数便是众多答案中最小的一个和第二最小的。比如，上题是取2个70，取3个21，取2个15。由于2×70＋3×21＋2×15＝233，比105大，减去105，再减105，得23。只此寥寥几步，便解了此题，可谓神奇。