一道关于不定积分的高数题？
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可以考虑换元法
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令x=atanx换元，最后再回代
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这个要运用三角换元法，设x=atant,则：
∫√(a^2+a^2tan^2t)datant/a^2tan^2t
=∫asectdatant/a^2tan^2t
=∫sectdtant/tan^2t
=∫sec^3tdt/tan^2t
=∫sin^2tdt/cost
=∫(1/cost-cost)dt
=∫dt/cost-∫costdt
=ln(1+sint)/(1-sint)-sint+c
返回代入x即得结果。
∫√(a^2+a^2tan^2t)datant/a^2tan^2t
=∫asectdatant/a^2tan^2t
=∫sectdtant/tan^2t
=∫sec^3tdt/tan^2t
=∫sin^2tdt/cost
=∫(1/cost-cost)dt
=∫dt/cost-∫costdt
=ln(1+sint)/(1-sint)-sint+c
返回代入x即得结果。
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∫{[√(a²+x²)]/x²}dx(a>0)【令x=a•tant；则dx=asec²tdt】
=∫{√[a²(1+tan²t)]/(a²tan²t)}asec²tdt=∫[(sec³t)/(tan²t)]dt
=-∫sect•d(1/tant)=-[(sect/tant)-∫sectdt]
=-(sect/tant)+ln(sect+tant)+c₁
将tant=x/a；sect=(1/a)√(a²+x²)代入得：
原式=-(1/x)√(a²+x²)+ln[x+√(a²+x²)]+c；其中c=c₁-lna；
=∫{√[a²(1+tan²t)]/(a²tan²t)}asec²tdt=∫[(sec³t)/(tan²t)]dt
=-∫sect•d(1/tant)=-[(sect/tant)-∫sectdt]
=-(sect/tant)+ln(sect+tant)+c₁
将tant=x/a；sect=(1/a)√(a²+x²)代入得：
原式=-(1/x)√(a²+x²)+ln[x+√(a²+x²)]+c；其中c=c₁-lna；
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方法如下图所示，
请作参考，
祝学习愉快：
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