Question

x=(y,z),y=(x,z),z=x,yf=x,=

设函数z=yf(x/y)+xg(y/x),求 X×（z的x的二阶偏导）+Y×（z的x,y的混合偏导）

Answer 1

z对x的一阶偏导：yf′(x/y) ·1/y+g(y/x)+xg′(y/x)·(-y/x^2)
= f′(x/y)+g(y/x)-(y/x) ·g′(y/x)
z对x的二阶偏导:f′′(x/y)/y-(y/x^2)g′(y/x)+(y/x^2)g′(y/x)+(y^2/x^3)
·g′′(y/x)=f′′(x/y)/y+(y^2/x^3)·g′′(y/x)
z对x,y的混合偏导:(-x/y^2)·f′′(x/y)+g′(y/x)/x-g′(y/x)/x-(y/x^2)· g′′(y/x) = (-x/y^2)·f′′(x/y)-(y/x^2)· g′′(y/x)
∴ X×（z的x的二阶偏导）+Y×（z的x,y的混合偏导）
= x/yf′′(x/y)+(y^2/x^2)·g′′(y/x)-(x/y^)·f′′(x/y)-(y^2/x^2)· g′′(y/x)=0
如果你会复合函数求导,理解了偏导数的定义,应该不难.