Question

周长相等的图形中,为什么圆的面积最大,列式计算

Answer 1

假设矩形边长a和b，当a=b时是正方形，则周长=2(a+b)
圆的周长=2π
R
根据题意，周长相等:2π
R=2(a+b)
∴R=(a+b)/
π
∵
矩形面积=ab
而圆面积=π
R
²=π[(a+b)/
π]²=(a+b)²/
π=(a²+b²+2ab)/
π=(a²+b²)/π+2/π(ab)
只要(a²+b²)＞1.15(ab)
圆面积＞矩形面积
而在正常情况下(a+b)²＞0
a²+b²＞2ab
∴周长相等的图形中,圆的面积最大
补充说明:如果，我们直接引用“周长相等，矩形中以正方形面积最大”则
矩形面积=a²
圆面积=4/π(a²
)
4/π(a²
)＞a²
∴周长相等的图形中,圆的面积最大
但这个前提，也要证明。所以，我没有采用。