Question

二重积分轮换对称性条件

关于二重积分的轮换对称性问题
不是谈二重积分的对称行,是对称性中的轮换对称性.
二重积分轮换对称性有什么条件?
有人说只要f（x,y）关于x＝y对称就行,有人说是积分区域关于x＝y对称,还有说两点都要满足.我被弄糊涂了,我现在只知道一般如果轮换后区域不对称的话,即使可以轮换对成意义也不大,因为没办法叠加了.
还有,什么叫区域关于x＝y对称?

Answer 1

你说的那几种情况都不是轮换对称性,首先所谓轮换对称性就是,如果把f(x,y)中的x换成y,y换成x后,f(x,y)的形式没有变化,就说f(x,y)具有轮换对称性.例如x^2+y^2有轮换对称性,而2x+3y没有轮换对称性（因为换完后是2y+3x,和原来的不一样）.下面说明轮换对称性在二重积分中的应用,我们知道二重积分的积分区域的边界可以用方程f(x,y)=0表示,如果这里的f(x,y)具有轮换对称性,那么被积函数中的x和y互换后积分结果不变.例如∫∫x^2dxdy,积分区域为圆周x^2+y^2=1,由于轮换对称性可知∫∫x^2dxdy=∫∫y^2dxdy（这就是把被积函数中的x换成了y）,因此积分=(1/2)∫∫2x^2dxdy=(1/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy,再用极坐标计算就简单多了.有不明白的地方欢迎追问.

Answer 2