Question

高数微积分问题求解

x^4 + y^4 − x^2 − y^2 = 0 的曲线 求x，y可取的范围。求过程详细谢谢谢谢谢谢

Answer 1

x^4 + y^4 − x^2 − y^2 = 0， 取 x = 0， y = 0 方程满足。
(x^2+y^2)^2 − (x^2+y^2) = 2x^2y^2
(x^2+y^2)(x^2+y^2-1) = 2x^2y^2
当 x, y 不同时为 0 时， 因 x^2+y^2 > 0, 2x^2y^2 ≥ 0, 则 x^2+y^2-1 ≥ 0.
则 x，y 可取值的范围是均为 0，或单位圆周及圆周之外的部分数。

Answer 2

分享一种解法。设x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ≥0。显然，ρ=0即x=0、y=0在曲线上。
当ρ≠0时，将x、y代入曲线方程、经整理，有ρ²=1/[(cosθ)^4+(sinθ)^4]。
而，(cosθ)^4+(sinθ)^4=(cos²θ+sin²θ)²-2(cosθsinθ)²=1-(1/2)sin²(2θ)。∴1≤ρ²≤2，即1≤x²+y²≤2。
∴x、y的可取值范围为D={(x,y)丨x=0，y=0}∪{(x,y)丨1≤x²+y²≤2}。
供参考。

Answer 3

x^4 + y^4 − x^2 − y^2 = 0 的曲线 求x，y可取的范围
解：(x²+y²)²-2x²y²-(x²+y²)=0
(x²+y²)(x²+y²-1)=2x²y²；
对任何x，y，都满足 x²y²≧0，x²+y²≧0；∴必有x²+y²-1≧0；
即x和y的取值必须满足：x²+y²≧1；
也就是曲线上的动点M(x，y)必须在园 x²+y²=1的外面或园上，在园内无定义。