高数微积分问题求解 20
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分享一种解法。设x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ≥0。显然,ρ=0即x=0、y=0在曲线上。
当ρ≠0时,将x、y代入曲线方程、经整理,有ρ²=1/[(cosθ)^4+(sinθ)^4]。
而,(cosθ)^4+(sinθ)^4=(cos²θ+sin²θ)²-2(cosθsinθ)²=1-(1/2)sin²(2θ)。∴1≤ρ²≤2,即1≤x²+y²≤2。
∴x、y的可取值范围为D={(x,y)丨x=0,y=0}∪{(x,y)丨1≤x²+y²≤2}。
供参考。
当ρ≠0时,将x、y代入曲线方程、经整理,有ρ²=1/[(cosθ)^4+(sinθ)^4]。
而,(cosθ)^4+(sinθ)^4=(cos²θ+sin²θ)²-2(cosθsinθ)²=1-(1/2)sin²(2θ)。∴1≤ρ²≤2,即1≤x²+y²≤2。
∴x、y的可取值范围为D={(x,y)丨x=0,y=0}∪{(x,y)丨1≤x²+y²≤2}。
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x^4 + y^4 − x^2 − y^2 = 0 的曲线 求x,y可取的范围
解:(x²+y²)²-2x²y²-(x²+y²)=0
(x²+y²)(x²+y²-1)=2x²y²;
对任何x,y,都满足 x²y²≧0,x²+y²≧0;∴必有x²+y²-1≧0;
即x和y的取值必须满足:x²+y²≧1;
也就是曲线上的动点M(x,y)必须在园 x²+y²=1的外面或园上,在园内无定义。
解:(x²+y²)²-2x²y²-(x²+y²)=0
(x²+y²)(x²+y²-1)=2x²y²;
对任何x,y,都满足 x²y²≧0,x²+y²≧0;∴必有x²+y²-1≧0;
即x和y的取值必须满足:x²+y²≧1;
也就是曲线上的动点M(x,y)必须在园 x²+y²=1的外面或园上,在园内无定义。
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