Question

60*A*B的结果是一个完全平方数,那么非零自然数A与B的和最小是多少？

Answer 1

首先，对于一个正整数k，如果60k是完全平方数，那么k必须包含60的所有质因数的偶数次幂。60的质因数分解为2²×3×5，因此k必须包含2²、3、5的偶数次幂，即k的形式为2²×3²×5²×m²，其中m为另一个正整数。
由此可知，60A和60B都是完全平方数，因此A和B的形式分别为2²×3²×5²×p²和2²×3²×5²×q²，其中p和q为另外两个正整数。
因此，A和B的和为：
A + B = 2²×3²×5²×p² + 2²×3²×5²×q²
= 4×9×25×p² + 4×9×25×q²
= 4×9×25×(p²+q²)
= 900(p²+q²)
因此，A和B的和是900的倍数，要想使A和B的和最小，只需要让p²+q²最小即可。由于p和q是正整数，因此p²+q²的最小值为2，此时p=q=1。
因此，A和B的和最小值为：
A + B = 900(p²+q²) = 900×2 = 1800
因此，非零自然数A和B的和最小为1800。