Question

lim(x→0)arctan 1/x为何左右极限不等?怎么算出来的？

Answer 1

lim【x→0+】arctan(1/x)。

=arctan(+∞)=π/2。

lim【x→0-】arctan(1/x)。

=arctan(-∞)=-π/2。

假设f(x)=arctan(1/x)。

则f(0+0)=lim(x-0+) arctan(1/x) =pi/2。

f(0-0)=-pi/2。

因为f(0+0)不等于f(0-0)。

所以极限不存在。

含义：

因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。