Question

怎么推导或证明 e^x 的导数是自身？

Answer 1

推导如下：

f'(x)＝lim(△x→0)［f(△x＋x)－f(x)］/△x

＝lim(△x→0)［a∧(x＋△x)－a∧x］/△x

＝a∧xlim(△x→0)(a∧△x－1)/△x

＝a∧xlim(△x→0)(△xlna)/△x

＝a∧xlna.

即：(a∧x)'＝a∧xlna

特别地，当a＝e时，(e∧x)'＝e∧x。

基本函数的求导公式：

1、y=c(c为常数)y'=0；

2、y=x^ny'=nx^(n-1)；

3、y=a^xy'=a^xlna，y=e^xy'=e^x；

4、y=logaxy'=logae/x，y=lnxy'=1/x；

5、y=sinxy'=cosx；

6、y=cosxy'=-sinx；

7、y=tanxy'=1/cos^2x；

8、y=cotxy'=-1/sin^2x；

9、y=arcsinxy'=1/√1-x^2；

10、y=arccosxy'=-1/√1-x^2；

11、y=arctanxy'=1/1+x^2；

12、y=arccotxy'=-1/1+x^2。

Answer 2

证明 e^x 的导数是自身
实际上就是使用求极限的方法
(e^x)'=lim(dx趋于0) [e^(x+dx)-e^x]/dx
=lim(dx趋于0)e^x *(e^dx-1)/dx
很显然dx趋于0时
(e^dx-1)/dx的极限值就是1
所以得到(e^x)'=e^x