Question

求f'（0），f“（0）

怎么求呀

Answer 1

lim [sin(3x)/x³ + f(x)/x²]
=lim [sin(3x) + x * f(x)]/x³ ①
既然当 x→0 时这个极限存在且等于 0，此时 分母 x³ → 0，那么，分子 [sin(3x) + x * f(x)] 必须也 → 0
那么对这个极限使用罗必塔法则，得到：
=lim [3cos(3x) + f(x) + x * f'(x)]/(3x²) = 0 ②
此时，分母 (3x²) → 0。同理，分子 [3cos(3x) + f(x) + x * f'(x)] 必须也 → 0
那么就可以得到：3cos0 + f(0) + 0 * f'(0) = 3 + f(0) = 0
则 f(0) = -3
再对 ② 式使用罗必塔法则，得到：
= lim [-9sin(3x)+f'(x) + f'(x) + x * f"(x)]/(6x) ③
因为 分母 (6x) → 0，则分子 [-9sin(3x) + 2f'(x) + x * f"(x)] 必须 → 0
那么就可以得到：-9sin0 + 2f'(0) + 0 * f"(0) = 0
则：f"0) = 0
因为 ③ 还是 0/0 型极限，继续使用罗必塔法则，得到：
= lim [-27cos(3x) + 2f"(x) + f"(x) + x * f"'(x)]/6 = 0
此时分母 为 6，那么分子必须等于 0。即：
-27cos0 + 3f"(0) + 0 * f"'(0) = -27 + 3f"(0) = 0
所以，f"(0) = 9

Answer 2

lim(x->0) f(x)/x^2 =2
(0/0)
=>f(0) =0
lim(x->0) f(x)/x^2 =2
洛必达
lim(x->0) f'(x)/(2x) =2
(0/0)
=>f'(0) =0
lim(x->0) f'(x)/(2x) =2
洛必达
lim(x->0) f''(x)/2 =2
=>f''(0) = 4