Question

概率计算题

设X~N(u , v^2),求X的三阶和四阶中心距。希望附带详细步骤，谢谢啊

Answer 1

你好~首先写出正态分布函数的表达式：x=1/（v*√2π）*exp{-[（x-u)^2]/2v^2} (exp表示e为底的指数）
n阶中心距定义为=E{[X-E（X）^n]},其中X为随机变量,E为期望，根据期望的定义
正态分布E（X）=∫x*1/（v*√2π）*exp{-[（x-u)^2]/2v^2}dx=u，其中上下限为+-无穷
n阶中心距时 E{[X-E（X）^n]}，因此上面的x应该替换成x-E（x)=x-u
所以n阶中心距=∫(x-u)^n*1/（v*√2π）*exp{-[（x-u)^2]/2v^2}dx，其中这里上下限为+-无穷
=1/（v*√2π)*∫(x-u)^n*exp{-[（x-u)^2]/2v^2}dx
对这个积分进行换元，让t=(x-u)/(√2*v),则积分可以化为
{[(√2v）^n]/√π}*∫t^n*e^(-t^2)dt，上下限不变
当n为奇数的时候，n阶中心距=0
当n为偶数的时候，n阶中心距=(n-1)*v^2*u^(n-2),这个对前面∫t^n*e^(-t^2)dt 用分部积分公式就可以求出积分了。
n阶中心距=(n-1)*v^2*u^(n-2）=v^n*(n-1)*(n-3)*.......*1
所以就求出了n阶中心距的通式，那么3阶为0 ，4阶为3v^4.