Question

在三角形ABC中,角ABC的对边分别为abc，已知sinC+cosC=1-sin（C/2）

1.求sinC的值。 2.若a^2+b^2=4(a+b)-8.求边c的值 在求1问的过程中，我不知道2sinC/2cosC/2+sinC/2=2sin^2(C/2) 是怎么来的

Answer 1

（1）
sinc+cosc=1-sinc/2，移项得sinc-sinc/2=1-cosc
由二倍角公式得2sinc/2cosc/2-sinc/2=2(sinc/2)^2
因为sinc/2≠0，所以两边消去sinc/2得2cosc/2-1=2sinc/2
整理得sinc/2-cosc/2=1/2
根据辅助角公式得sin(c/2-π/4)=√2/4
再由二倍角公式得cos(c-π/2)=1-2sin(c/2-π/4)^2=3/4
∴sinc=cos(c-π/2)=3/4
(2)
移项、配方得(a-2)^2+(b-2)^2=0故a=b=2
由余弦定理c^2=a^2+b^2-2ab*cosc=4+4-8cosc
又由（1）中sinc/2-cosc/2=1/2可知sinc/2>cosc/2>0
所以cosc=(cosc/2)^2-(sinc/2)^2<0，从而cosc=-√7/4
所以c^2=8-8cosc=8+2√7=（1+√7)^2
c=1+√7

Answer 2

已知条件
移项
变换：
sinC+sin(C/2)=1+cosC
左边=2sinC/2cosC/2+sin(C/2)
右边=2sin^2(C/2)