Question

高等数学，求收敛域与和函数

Answer 1

Σ《n=1, +∞》x^n/(n*2^n)
=Σ《n=1, +∞》(-1)^n*(-x/2)^n/n
=ln(1-x/2)=ln(2-x)-ln2 直接 ln(1-x/2) 的麦克劳林展式

Answer 2

Answer 3

Answer 4

分享解法如下。设t=x/2。则原式=S=∑(t^n)/n，n=1,2，……。
对S=∑(t^n)/n。易得，其收敛半径R=lim(n→∞)丨an/a(n+1)丨=1。∴其收敛区间为丨t丨<1。
又，t=1时，S发散；t=-1时，S为交错级数，收敛。∴其收敛域为t∈[-1,1)。∴x∈[-2,2)。
由S=∑(t^n)/n两边对t求导、在其收敛区间，有S'=∑t^(n-1)=1/(1-t)。∴S=∫S'dt=-ln(1-t)+C。
而，t=0时，S=0。∴原式=-ln(1-t)=ln2-ln(2-x)。

Answer 5

1/(1-t) = 1+t+t^2+...

∫(0->u) dt/(1-t) = ∫(0->u) (1+t+t^2+...) du
-ln|1-u| = u + u^2/2 +u^3/3+....
u = x/2
-ln|1-x/2| = x/2 + (1/2)(x/2)^2 +(1/3)(x/2)^3+....
∑(n=1->无穷) x^n/(n.2^n)
=-ln|1-x/2|
=ln2 -ln|2-x|
收敛
|2-x| <1
-1<2-x<1
-3<-x<-1
1<x<3