Question

2007年考研数学三选择题(2)？

请问当改变（B）,（D）选项中的加减之后命题是否成立呢？B选项变成f(x)-f(-x)，D选项变成f(x)+f(-x)，该如何理解？

Answer 1

ans: B
e.g
f(x) =sinx
lim(x->0) sinx/桥蔽x =1 存在燃闷
f'(x)=cosx
f'敏段州(0) = cos0=1 ≠0

追问

抱歉图片中的序号标错了，麻烦您重新看一下

追答

我的答案一样，不过改为C

ans: C
e.g
f(x) =sinx
lim(x->0) sinx/x =1 存在
f'(x)=cosx
f'(0) = cos0=1 ≠0

追问

图片截错了，您麻烦再看下，我主要不理解的是B D 改变之后的情况，十分感谢

追答

应该这样！

(B)

lim(x->0) [f(x) +f(-x) ]/x (0/0)

f(0) +f(0) =0

=>f(0) =0

(D)

lim(x->0) [f(x) -f(-x) ]/x

=lim(x->0) [f(x) -f(0) ]/x + lim(x->0) [f(0)-f(-x) ]/x

y=-x

=lim(x->0) [f(x) -f(0) ]/x + lim(y->0) [f(0)-f(y) ]/(-y)

=lim(x->0) [f(x) -f(0) ]/x + lim(y->0) [f(y)-f(0) ]/y

=2lim(x->0) [f(x) -f(0) ]/x 

=2f'(0)

追问

第一个等式的符号我没看明白，两个加起来不是f(x)-f(-x)吗？
然后按这个算，最后的结论因为极限存在就能推出f(0)=0吗？f(x)在0处连续，f(x)-f(0)本身不就趋于0吗？

追答

f(x) -f(-x)
= f(x) -f(0) +f(0) -f(-x)
=[f(x) -f(0)] +[f(0) -f(-x)]
lim(x->0) [f(x) -f(-x) ]/x
=lim(x->0) [f(x) -f(0) ]/x + lim(x->0) [f(0)-f(-x) ]/x