Question

关于求极限的问题

Answer 1

两个无穷小量是等价,是指它们的商的极限是1.

设u(x)和v(x)是二个等价的无穷小量,则它们满足等式:
u(x) = v(x)+o(v(x))
也就是说,等价无穷小量不一定相等,而是相差了一个关于v(x)的高阶无穷小量.

在极限的四则运算中,可以用v(x)+o(v(x))代替u(x),没有任何限制.

但是注意,两个高阶无穷小量相减不一定为0,即o(v(x))-o(v(x))不一定等于0.

第二个问题,x趋近于0时,
sin(x)可以代换为x+o(x), 当x趋近于0时. 但是不能代换为0.
cos(x)在x趋近于0的时候,不是无穷小量,所以cos(x)没有等价无穷小量.