Question

设方阵A的立方等于哦，试证明E-A可逆，且（E—A）－¹=E+A +A².

Answer 1

(A-E)^3
=(A^2 - 2A +E) (A-E)
=A^3 - 3A^2 +3A -E
因A^3=0
=-3A^2 +3A -E
移项整理
E = -3A (A-E) - (A-E)^3
=[-3A - (A-E)^2] (A-E) = [3A + (E-A)^2] (E-A)
由定义 有矩阵[3A + (E-A)^2] 使(E-A)乘上等于E
于是(E-A)可逆 且(E-A)^-1为 [3A + (E-A)^2]

[3A + (E-A)^2]
=3A +A^2 -2A +E
=E + A +A^2
即 (E-A)^-1为E + A +A^2

Answer 2

思路：A^3=0，利用普通的除法得到A^3=(E-A)(-A^2 -A-E)+E=0
所以有(E-A)(A^2 +A+E)=E
所以可逆，所以他的逆是后面那个式子

以后这样的题都这想就可以。