Question

凸函数问题？

设f是[a，b上的凸函数，如果有c∈（a，b）使得f（a）= f（c）= f（b），证明：f（a）是[a，b]上的常值函数，

Answer 1

既然 f(x) 在区间 [a, b] 上是凸函数，那就说明 f"(x) < 0。则在区间 (a, b) 上最多只有一个点 使得 f'(x) = 0。

然而，c ∈(a, b)，且 f(a) = f(c) = f(b)。那么：

1. 在区间 (a, c) 上就有某一点 m，使得 f'(m) = [f(c) - f(a)]/(c - a) = 0（罗尔定理）；

2. 在区间 (c, b) 上也有某一点 n，使得 f'(n) = [f(b) - f(c)]/(b - c) = 0（罗尔定理）。

这两个结论是与 区间 (a, b) 上最多只有一个点使得 f'(x) = 0 的结论相矛盾的。

所以，若要使上面的条件同时成立，那么，在区间 [a, b] 上 f(x) 函数只能是常值函数，且都等于 f(a)。