Question

向量及其运算

Answer 1

向量的表示 : 以 为起点、 为终点的有向线段表示的向量记为 ， 有时也用一个黑体字母(书写时， 在字母上面加一箭头)来表示(见图1 )， 如 a 或 。

向量的模 : 向量的大小(数学上指有向线段的长度)叫作向量的模，记作|a|， 。
模为1的向量称为 单位向量 ，记作 e。
模为0的向量称为 零向量 ，记作 0。
零向量的方向可以看作是任意的。

向量 a 、 b 的始点重合， 在两向量的所在平面上， 若一个向量逆时针方向转过角度 θ后可与另一个向量正向重合(见图2)， 则称θ为 向量 a 、 b 的夹角， 记作(a， b)， 即
θ = ( ) = ( ) (0≤ θ ≤π)

如果向量 的始点A与终点B在u轴上的投影分别为A′、B′(见图3)， 则u轴上的有向线段A′B′的值A′B′称为向量AB在u轴上的投影， 记作 = A′B′，u轴称为 投影轴 。

定理1
向量 在 u 轴上的投影等于向量的模乘以u轴与向量 的夹角 θ 的余弦，即
cos θ

a 可分解为三个分别平行于x轴、y轴和z轴的向量 a 、 a 和 a ， 它们称为a在 x 轴、y 轴和 z 轴的三个 分向量 ， 显然 a = a + a + a (见图4)。

若用 i 、 j 和 k 分别表示与 x 轴、 y 轴和 z 轴正向一致的三个单位向量， 称它们为 基本单位向量 ， 则有 a =( ) i ， a = ( ) j ， a = ( ) k ， 因此
a = a + a + a = ( ) i + ( ) j + ( ) k = & i + & j + & k ， 称上式为向量 a 按 基本单位向量的分解式 或 a 的 向量表示式 。
将 、 、 称为向量 a 的 坐标 ， 记为 a = ( ， ， ) ， 也称为向量a的 坐标表示式 。

三个 分向量 ( a ， a ， a )
a = a + a + a
向量表示式
a = & i + & j + & k
坐标表示式
a = ( ， ， )

设 a 为任意一个非零向量， 又设 为 a 与三坐标轴正向之间的夹角(0≤α， β， γ <π)， 如图5所示， 则 分别为向量 a 的 方向角 。 由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影， 故有
= | a | ， = | a | ， = | a | ，
其中， 称为向量 a 的 方向余弦 ， 通常用来表示向量的方向。
由模的定义， 可知向量 a 的模为
| a | = =
或
=
=
=
由此可得 即任一向量的方向余弦的平方和为 1。
单位向量

定义1 给定向量 a 与 b ， 我们将 |a| 与 |b| 及它们的夹角θ的余弦的乘积，称为向量 a 与 b 的 数量积 ， 记为 a · b ， 即
。

(1) ```````````` ( )
(2)
(3) 若 ， ， 则 。

(1) 交换律：
(2) 分配律:
(3) (其中 λ 是数)

若 ， 则

= 0

定义2 若由向量 与 所确定的一个向量 满足下列条件(见图5):
(1) 的方向既垂直于 又垂直于 ， 的指向按右手规则从 转向 来确定;
(2) 的模 ，则称向量 为向量 与 的向量积(或称 外积、 叉积 )， 记为

(1) 反交换律：
(2) 分配律：
(3) 结合律： (其中 λ 是实数)

注意 第二项为（-1）

由此可得:
若 ， 则

即
(亦即a=λb， λ为实数)