Question

三角形的最大值问题是怎么推导出来的呢？

Answer 1

设P在三角形内部，我们先来证，对任意这样的P，存在一个点P'，使得
AP'+BP'+CP'>AP+BP+CP
记f(P)=AP+BP+CP，这是一个关于点P的实值函数。

记∠APB=a1，∠APC=a2，∠BPC=a3
且不妨设a1<=a2<=a3，这样显然有a1<=120°.
作a1的反向角平分线PD，注意PD是那个优角的角平分线。现在让P沿着PD移动很短的距离Δx，我们来说明当Δx足够小时，f(P)是会增大的。
我们用所谓的微元法来说明。
因为a1<=120°，所以∠APD=∠BPD>=120°，则cos∠APD=cos∠BPD<=-1/2
而AP的增量约为：-Δx*cos∠APD
BP的增量约为：-Δx*cos∠BPD
CP的减量约为：Δx*cos∠CPD
故f(P)的增量为
Δf(P)=-Δx*cos∠APD-Δx*cos∠BPD+Δx*cos∠CPD=Δx(-cos∠APD-cos∠BPD+cos∠CPD)>=0
在PD与PC不共线的时候，这个不等号是严格的，共线的时候，a1<120°时也是严格的。若PD与PC共线，且a1=120°，则a1=a2=a3=120°，易知此时不等号也是严格的。综上，
Δf(P)>0
所以存在一点P'使得f(P')>f(P)

由上可知，f(P)的最大值不能在三角形内部取到，所以f(P)的最大值在边界取到。
若P在边的内部（即在边上，而不为顶点），可用类似的方法，让P沿着边向着钝角一方走，这样f(P)必能增大。用这种方法，P将走到一个锐角顶点停止，取到一个局部的最大值。这样最多有三个局部最大值，它们在三个顶点取到。那么整体的最大值就是它们三个中最大的一个。
令三条边长为a,b,c，不妨a<=b<=c，那么f(P)在A点取到最大值，此时
f(P)=b+c
所以当P在三角形内部的时候有，
f(P)<b+c<2c
即小于最大边长的二倍

其实思想很简单，只不过一写就写了这么多……