有理数加减
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哎呀，上初一了，要学习有理数了。那么有理数到底是个什么玩意儿？说白了，就是可以用比表示一个数的就是有理数（如1=1:1，1/2=1:2，-1=1:-1）。那么学过的数中，哪个不是有理数呢？不是“有”理数，自然就是“无”理数了，什么不能用比来表示？想想我们学过的圆周率（兀），是一个无限不循环小数，而它可以用比来表示吗？不行。它不能用一个比来表示，所以说是无理数。我们暂时先把无理数放在一边，先研究有理数。研究一种数，最重要的就是要用到数轴，用数轴可以表示的更清楚，且容易理解。要会使用这种数，就要学会“基础”：加减。那么我们就来研究有理数的加减吧！
FIRST：PLUS➕（加）
我们先来从宏观上分类加法：
正数➕负数
正数➕正数
负数➕负数
0➕负数（或正数）
我们小学学的都是正数加正数，所以我们会认为一个数越加越大，但是在这里可就不同了。我们先来借助挑数轴数轴来理解：
如-3➕2:
先从原点零开始，向数轴左边跳三个单位长度，为-3。在数轴上，越往左越小，越往右越大。后来加➕2，加正数为越加越大，也就是朝数轴右边跳。在跳两个单位后，点到了-1的位置。
这样比较容易理解，如果使用加法交换律呢？2➕（-3）：
咦？这有一点奇怪，为何往左跳呢？越加越小了（我长见识了）！？莫慌，我再次说明，我们小学学的是正数加正数，而这个时候加的是负数，复数的意义恰好与正数相反，所以，就往左跳了。先从原点零向右挑两个单位长度，就是2，再次向又跳三个单位长度，为-1。
那么负数加负数呢？-7➕（-2）：
其实这里的意义是相同的，正数加正数等于正数，负数加负数就还等于负数，先从原点零向左跳7个单位长度，为-7，再向左跳两个单位到-9，向左跳的这两个单位就是-2（正数加正数为正数，负数加负数为负数）。
如果是0呢？我们小学就学过一个定律：0加任何数都等于任何数本身，在这里也不例外。
通过有理数加法的探索，我发现了它们的定律：
当正数的绝对值大于负数的绝对值时（绝对值就是一个数所对应的数轴上的点到0的距离），正数加负数还等于正数；当正数的绝对值小于负数的绝对值时，正数加负数等于负数；当正数的绝对值等于负数的绝对值时，正数加负数还等于0。在这其中，同号数相加，结果符号不变；异号数相加，结果取绝对值大的那一个。
OK，problem solved。现在我们就来探究有理数减法。
SECOND：MINUS➖（减）：
我们再次从宏观角度来看：
正数-正数
正数-负数
负数➖正数
负数➖负数
首先来看一下正数-正数，7-1:
先从原点零向数轴右边跳7个单位长度，再向右跳一个单位长度，为6。在正数的范围内，一个数减一个数就会变得越小，当然也会往数轴的左方向跳。等等，这个时候我突然想到了一道加法算式：
7➕（-1）
7+（-1）等于几？等于6呀！与7-1的结果是相同的呀！那为何会这样呢？其实这两个算式在本质上是相同的，都是从数轴上7对应的点向左移动一个单位长度。我又试了好几次不同的数，其结果相同。那么从这里，我们又可以得出一个定律：减去一个数等于加他的相反数。
ok，我们继续来探究。
负数减正数呢？-4-2:
其实这个也非常好理解，减去正数是我们小学学过的，从数轴上往左跳就可以了（从原点零向左跳了4个单位长度，再向左跳了2个单位长度为-6）。
那么接下来这个就不简单了。-2-（-1），哦？减去一个负数？这个概念有些混乱呀，到底该怎么算呢？这个时候就需要用到数轴上的反射变化了。我们先来观察一下，减去一个负数，他们的都带着负号，而且我们之前都出过一个定律：减去一个数等于加它的相反数。那么在这里能不能用上呢？我们一个一个来试：
反射变化（其实就是相反数之间“互换”）：
首先就是单独的2-1，减去一个负数，相当于在数轴上反射两次，上图中，-1反射至1，又再次将1反射回-1，所以-2–（-2）等于-1。
定律：
-2-（-2）
=-2➕1=-1
利用两种方法得出的结果都相同。
太好了，终于解决了！
这个时候我又在想：既然减一个数等于加他的相反数，那么加一个数，会不会等于减他的相反数呢？我来探究一下：
4+2=6
4-（-2）=6
0+（-1）=-1
0-1=-1
原来也是可行的呀！现在我终于明白，有理数的加减可以互换，这样可以使运算变得更简单。其实有理数加减并不难，只要借助数轴，再明白负数的抽象概念，再明白数与数之间的关系与应用工具，你就可以轻而易举地学会，且会使用。
THE END！
FIRST：PLUS➕（加）
我们先来从宏观上分类加法：
正数➕负数
正数➕正数
负数➕负数
0➕负数（或正数）
我们小学学的都是正数加正数，所以我们会认为一个数越加越大，但是在这里可就不同了。我们先来借助挑数轴数轴来理解：
如-3➕2:
先从原点零开始，向数轴左边跳三个单位长度，为-3。在数轴上，越往左越小，越往右越大。后来加➕2，加正数为越加越大，也就是朝数轴右边跳。在跳两个单位后，点到了-1的位置。
这样比较容易理解，如果使用加法交换律呢？2➕（-3）：
咦？这有一点奇怪，为何往左跳呢？越加越小了（我长见识了）！？莫慌，我再次说明，我们小学学的是正数加正数，而这个时候加的是负数，复数的意义恰好与正数相反，所以，就往左跳了。先从原点零向右挑两个单位长度，就是2，再次向又跳三个单位长度，为-1。
那么负数加负数呢？-7➕（-2）：
其实这里的意义是相同的，正数加正数等于正数，负数加负数就还等于负数，先从原点零向左跳7个单位长度，为-7，再向左跳两个单位到-9，向左跳的这两个单位就是-2（正数加正数为正数，负数加负数为负数）。
如果是0呢？我们小学就学过一个定律：0加任何数都等于任何数本身，在这里也不例外。
通过有理数加法的探索，我发现了它们的定律：
当正数的绝对值大于负数的绝对值时（绝对值就是一个数所对应的数轴上的点到0的距离），正数加负数还等于正数；当正数的绝对值小于负数的绝对值时，正数加负数等于负数；当正数的绝对值等于负数的绝对值时，正数加负数还等于0。在这其中，同号数相加，结果符号不变；异号数相加，结果取绝对值大的那一个。
OK，problem solved。现在我们就来探究有理数减法。
SECOND：MINUS➖（减）：
我们再次从宏观角度来看：
正数-正数
正数-负数
负数➖正数
负数➖负数
首先来看一下正数-正数，7-1:
先从原点零向数轴右边跳7个单位长度，再向右跳一个单位长度，为6。在正数的范围内，一个数减一个数就会变得越小，当然也会往数轴的左方向跳。等等，这个时候我突然想到了一道加法算式：
7➕（-1）
7+（-1）等于几？等于6呀！与7-1的结果是相同的呀！那为何会这样呢？其实这两个算式在本质上是相同的，都是从数轴上7对应的点向左移动一个单位长度。我又试了好几次不同的数，其结果相同。那么从这里，我们又可以得出一个定律：减去一个数等于加他的相反数。
ok，我们继续来探究。
负数减正数呢？-4-2:
其实这个也非常好理解，减去正数是我们小学学过的，从数轴上往左跳就可以了（从原点零向左跳了4个单位长度，再向左跳了2个单位长度为-6）。
那么接下来这个就不简单了。-2-（-1），哦？减去一个负数？这个概念有些混乱呀，到底该怎么算呢？这个时候就需要用到数轴上的反射变化了。我们先来观察一下，减去一个负数，他们的都带着负号，而且我们之前都出过一个定律：减去一个数等于加它的相反数。那么在这里能不能用上呢？我们一个一个来试：
反射变化（其实就是相反数之间“互换”）：
首先就是单独的2-1，减去一个负数，相当于在数轴上反射两次，上图中，-1反射至1，又再次将1反射回-1，所以-2–（-2）等于-1。
定律：
-2-（-2）
=-2➕1=-1
利用两种方法得出的结果都相同。
太好了，终于解决了！
这个时候我又在想：既然减一个数等于加他的相反数，那么加一个数，会不会等于减他的相反数呢？我来探究一下：
4+2=6
4-（-2）=6
0+（-1）=-1
0-1=-1
原来也是可行的呀！现在我终于明白，有理数的加减可以互换，这样可以使运算变得更简单。其实有理数加减并不难，只要借助数轴，再明白负数的抽象概念，再明白数与数之间的关系与应用工具，你就可以轻而易举地学会，且会使用。
THE END！
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